Dans la théorie des décompositions de groupe de lie, il est généralisé par la décomposition d`Iwasawa. En mécanique quantique, il existe plusieurs schémas d`orthogonalisation présentant des caractéristiques mieux adaptées à certaines applications que le Gram – Schmidt original. Ainsi, u k (i) {displaystyle mathbf {u} _ {k} ^ {(i)}} est également orthogonalisé par rapport aux erreurs introduites dans le calcul de votre k (i − 1) {displaystyle mathbf {u} _ {k} ^ {(i-1)}}. Étape 2 Let $ {bf v} _ 2 = {bf u} _ 2-mbox{proj}_{W_{1}}{bf u} _ 2 = {bf u} _2-frac{langle {bf u} _2, {bf v} _1 rangle} { | {bf v} _1 | ^ {2}} {bf v} _1 $ où $W _1 $ est l`espace fractionné par $ {bf v} _ 1 $, et $ mbox{proj}_{W_{1}}{bf u} _ 2 $ est la projection orthogonale de $ {bf u} _ 2 $ on $W _1 $. Let V {displaystyle mathbf {V}} être une matrice de rang de colonne complète, dont les colonnes doivent être orthogonalisées. Puis les colonnes de la matrice U = V (L − 1) ∗ {displaystyle mathbf {U} = mathbf {V} (mathbf {L} ^ {-1}) ^ {*}} sont orthonormale et couvrent le même sous-espace que les colonnes de la matrice d`origine V {displaystyle mathbf {V}}. Étape 2 Let $ {bf v} _ 2 = {bf u} _2-frac{langle {bf u} _2, {bf v} _1 rangle} { | {bf v} _1 | ^ {2}} {bf v} _ 1 $. Cette méthode est utilisée dans l`animation précédente, lorsque le vecteur intermédiaire v` 3 est utilisé lors de l`orthogonalisation du vecteur bleu v3. Reed, M. Nous illustrons le processus de Gram-Schmidt par l`exemple suivant. Étape $3 begin{Array}{RCL} {bf v} _ 3 & = & (1, 1, 2)-frac{(1, 1, 2) cdot (1,-1, 1)} { | ( 1,-1, 1) | ^ {2}} (1,-1, 1)-frac{(1, 1, 2) cdot (frac{1}{3}, frac{2}{3}, frac{1}{3}) strut}{ | ( frac{1}{3}, frac{2}{3}, frac{1}{3}) | ^ {2}} (frac{1}{3}, frac{2}{3}, frac{1}{3}) & = & (1, 1, 2)-frac{2}{3} (1,-1, 1)-frac{5}{2} (frac{1}{3}, frac{2}{3}, frac{1}{3}) & = & (frac{-1}{2}, 0, frac{1}{2}).
Orthogonalisation de Gram-Schmidt. Supposons que nous ayons une matrice de dimension avec ensuite par Remarque 5. Les polynômes orthogonaux sont particulièrement faciles à générer en utilisant l`orthonormalisation de Gram-Schmidt. Supposons qu`on nous donne deux vecteurs et dans un avion. Zassenhaus, H. L`algorithme MATLAB suivant implémente l`orthonormalisation Gram – Schmidt stabilisée pour les vecteurs euclidiens. Le processus de Gram – Schmidt s`applique également à une séquence infinie de linéairement indépendante {VI} i. La formule déterminante pour le Gram-Schmidt est plus lente (exponentiellement plus lente) que les algorithmes récursifs décrits ci-dessus; Il est principalement d`intérêt théorique. La matrice V ∗ V {displaystyle mathbf {V} ^ {*} mathbf {V}} est hermitien et positive définie, de sorte qu`il peut être écrit comme V ∗ V = L L ∗, {displaystyle mathbf {V} ^ {*} mathbf {V} = mathbf {L} mathbf {L} ^ {*},} en utilisant la décomposition Cholesky. Mais cela peut être réalisé en remplaçant le vecteur par chaque fois qu`il est négatif.
L`application du procédé Gram – Schmidt aux vecteurs de colonne d`une matrice de rang de colonne complète donne la décomposition QR (elle est décomposée en une matrice orthogonale et triangulaire). Pourtant, une autre alternative est motivée par l`utilisation de la décomposition Cholesky pour inverser la matrice des équations normales dans les moindres carrés linéaires.